בְּמָתֵמָטִיקָה, מַעֲרֶכֶת מִסְפָּרִים הִיא קְבוּצָה שֶׁל מִסְפָּרִים, אוֹ עֲצָמִים הַדּוֹמִים לְמִסְפָּרִים, שֶׁמּוּגְדָּרוֹת בָּהּ פְּעוּלּוֹת אָרִיתְמֵטִיּוֹת כְּגוֹן חִיבּוּר וְכֶפֶל.
הַמַּעֲרָכוֹת הַחֲשׁוּבוֹת בְּיוֹתֵר הֵן קְבוּצַת הַמִּסְפָּרִים הַטִּבְעִיִּים, חוּג הַמִּסְפָּרִים הַשְּׁלֵמִים, שְׂדֵה הַמִּסְפָּרִים הָרַצְיוֹנָלִיִּים, שְׂדֵה הַמִּסְפָּרִים הַמַּמָּשִׁיִּים וּשְׂדֵה הַמִּסְפָּרִים הַמְּרוּכָּבִים.
עִם זֹאת, לַשְּׁאֵלָה 'מַהִי מַעֲרֶכֶת מִסְּפָרִים' אֵין תְּשׁוּבָה מְדוּיֶּקֶת, וּקְבוּצוֹת כְּלָלִיּוֹת יוֹתֵר עֲשׂוּיוֹת לְהֵחָשֵׁב לְמַעַרְכוֹת מִסְפָּרִים בַּהֶקְשֵׁר הַמַּתְאִים.

סָבִיר לְהַנִּיחַ שֶׁבַּתְּחִילָּה רַק מִסְפָּרִים טִבְעִיִּים נֶחְשְׁבוּ כְּ'מִסְפָּרִים'.
אֵלּוּ הֵם מוֹנִים שֶׁל קְבוּצוֹת סוֹפִיּוֹת: אֶחָד, שְׁנַיִים, שְׁלוֹשָׁה, אַרְבָּעָה וְכֵן הָלְאָה.
בְּבֵית הַסֵּפֶר שֶׁל פִּיתְגוּרְס 'מִסְפָּר' הָיָה תָּמִיד יַחַס בֵּין שְׁנֵי מִסְפָּרִים שְׁלֵמִים, כְּלוֹמַר (בַּשָּׂפָה הַמּוֹדֶרְנִית) מִסְפָּר רַצְיוֹנָלִי.
מִצַּד שֵׁנִי הַפִּיתָגוֹרָאִים זִיהוּ מִסְפַּר עִם הָאוֹרֶךְ שֶׁל קֶטַע מַתְאִים, וְהֶעְדִּיפוּ בָּזֶה אֶת הַגִּישָׁה הַגֵּאוֹמֶטְרִית לַשְּׁאֵלָה 'מַהוּ מִסְפָּר'.
עַד לַמֵּאָה הַ-16 מְסַפֵּר הָיָה צָרִיךְ לִהְיוֹת בַּעַל מַשְׁמָעוּת גֵּאוֹמֶטְרִית: אוֹרֶךְ, שֶׁטַח אוֹ נֶפַח; אֲפִילּוּ בַּפִּתְרוֹנוֹת הָרִאשׁוֹנִים לְמִשְׁוָואָה מִמַּעֲלָה שְׁלִישִׁית וּרְבִיעִית הִתְיַיחֲסוּ בְּנִפְרָד לְמִקְרִים שֶׁבָּהֶם צָרִיךְ לְהַשְׁווֹת 'נֶפַח וְעוֹד שָׁטַח' (כְּלוֹמַר לְמִסְפָּר קָבוּעַ, לְעוּמַּת הַשְׁוָואַת נֶפַח לְ'שֶׁטַח וְעוֹד קָבוּעַ'.
הַהִתְקַדְּמוּת בַּיְּכוֹלֶת לִפְתּוֹר מִשְׁוָואוֹת אֵלּוּ הֵבִיאָה לְהַכָּרָה בְּצוֹרֶךְ בְּמִסְפָּרִים כְּלָלִיִּים יוֹתֵר, הֶחָל בְּמִסְפָּרִים שְׁלִילִיִּים וְכָלֶה בַּמִּסְפָּרִים הַמְּרוּכָּבִים.

הַתְּכוּנוֹת הַיְּסוֹדִיּוֹת שֶׁל הַמִּסְפָּרִים הָפְכוּ בְּמָתֵמָטִיקָה לְאַקְסְיוֹמוֹת הַמְּאַפְיְינוֹת אֶת מַעַרְכוֹת הַמִּסְפָּרִים, וְאֵלּוּ הוּפְרְדוּ בַּהֶמְשֵׁךְ מִמְּקוֹרָן, וְהָפְכוּ לְנִיצָּנֶיהָ שֶׁל הָאַלְגֶּבְּרָה הַמּוֹדֶרְנִית.

הַמּוּשָּׂג מִסְפָּר וְאִיתּוֹ זֶהוּת מַעַרְכוֹת הַמִּסְפָּרִים (קְבוּצַת כָּל הַמִּסְפָּרִים) עָבְרוּ שִׁינּוּיִים רַבִּים בְּמַהֲלַךְ הַהִיסְטוֹרְיָה.
בְּתַרְבּוּיוֹת קְדוּמוֹת נַעֲשָׂה שִׁימּוּשׁ בְּמִסְפָּרִים עַל מְנַת לִסְפּוֹר עֲצָמִים - וּמִשּׁוּם כָּךְ הַמּוּשָּׂג מִסְפָּר הִתְיַיחֵס רַק לְמַעֲרֶכֶת הַמִּסְפָּרִים הַטִּבְעִיִּים.
שִׁימּוּשׁ נוֹסָף שֶׁנַּעֲשָׂה בְּמִסְפָּרִים הָיָה כְּמַדָּד כַּמּוּתִי, לְמָשָׁל לְאוֹרֶךְ אוֹ לַשֶּׁטַח.
מוּשָּׂג זֶה שֶׁל מִסְפָּר תּוֹאֵם אֶת הַמּוּשָּׂג הַמּוֹדֶרְנִי שֶׁל מַעֲרֶכֶת הַמִּסְפָּרִים הַמַּמָּשִׁיִּים הַחִיּוּבִיִּים.
בְּיָוָן הָעַתִּיקָה נִיסּוּ לְקַשֵּׁר אֶת שְׁתֵּי הַהַגְדָּרוֹת הַשּׁוֹנוֹת - וּלְבַסֵּס אֶת תּוֹרַת הַמִּסְפָּרִים עַל יְסוֹדוֹת גֵּאוֹמֶטְרִיִּים.
הָרַעְיוֹן הִתְבַּסֵּס עַל כָּךְ שֶׁנִּיתָּן לָקַחַת קֶטַע וּלְהַגְדִּיר אֶת הָאוֹרֶךְ שֶׁלּוֹ כְּ-1, וַאֲזַי הַמִּסְפָּר 2 יִהְיֶה מְקוּשָּׁר לְקֶטַע בַּעַל אוֹרֶךְ כָּפוּל, וְכֵן הָלְאָה לְגַבֵּי שְׁאָר הַמִּסְפָּרִים.
הֵם גַּם הֶאֱמִינוּ שֶׁנִּיתָּן לְהַצִּיג אוֹרֶךְ שֶׁל כָּל קֶטַע כְּמָנָה שֶׁל שְׁנֵי קְטָעִים טִבְעִיִּים.
מַעֲרֶכֶת הַמִּסְפָּרִים הַמִּתְקַבֶּלֶת בְּאוֹפֶן זֶה (מִמָּנָה שֶׁל שְׁנֵי מִסְפָּרִים טִבְעִיִּים) נִקְרֵאת הַיּוֹם הַמִּסְפָּרִים הָרַצְיוֹנָלִיִּים הַחִיּוּבִיִּים.
וְאוּלָם הַמָּתֵמָטִיקָאִים הַפִּיתָגוֹרָאִים הֶרְאוּ שֶׁבְּרִיבּוּעַ, שֶׁאוֹרֵךְ צַלְעוֹ הוּא 1, לֹא נִיתָּן לְהַצִּיג אֶת אוֹרֶךְ הָאֲלַכְסוֹן כְּמָנָה שֶׁל שְׁנֵי מִסְפָּרִים טִבְעִיִּים.
תַּגְלִית זֹאת הִיוְּותָה מַשְׁבֵּר פִילוֹסוֹפִי חָמוּר עֲבוּר הַפִּיתָגוֹרָאִים, שֶׁהָיוּ כַּת פִילוֹסוֹפִית דָּתִית שֶׁהֶאֱמִינָה בִּשְׁלֵמוּת הַמִּסְפָּרִים וַחֲשִׁיבוּתָם לְתֵיאוּר הַטֶּבַע.
הָאַגָּדָה אַף מְסַפֶּרֶת שֶׁהֵם זָרְקוּ לַנָּהָר אֶת הַתַּלְמִיד שֶׁגִּילָּה אוֹתָהּ [דָּרוּשׁ מָקוֹר].

בַּמֵּאָה הַ-6 לַסְּפִירָה הֵחֵלּוּ מָתֵמָטִיקָאִים הוֹדִים לְהִתְיַיחֵס גַּם לְ-0 כְּאֶל מִסְפָּר, וְעָשׂוּ בּוֹ שִׁימּוּשׁ בְּחִישּׁוּבֵיהֶם.
מָתֵמָטִיקָאִים הוֹדִים הֵחֵלּוּ גַּם לְהִשְׁתַּמֵּשׁ בְּמִסְפָּרִים שְׁלִילִיִּים בְּחִישּׁוּבֵיהֶם הֵחֵל מֵהַמֵּאָה הַ-7, וְאוֹמְנָם הַהִתְיַיחֲסוּת אֶל מִסְפָּרִים שְׁלִילִיִּים כְּאֶל מִסְפָּרִים הָפְכָה לִמְקוּבֶּלֶת רַק בַּמֵּאָה הַ-19, וְהִיא כְּתוֹצָאָה שֶׁל שִׁינּוּי שֶׁחָל בִּתְפִיסַת הַמּוּשָּׂג מִסְפָּר.
בְּתוֹר מַדָּד לְכַמּוּת אֵיבָרִים בִּקְבוּצָה, אוֹ כְּמַדָּד לְאוֹרֶךְ, אֵין לְמִסְפָּרִים שְׁלִילִיִּים מַשְׁמָעוּת, אַךְ יֵשׁ לַמִּסְפָּרִים מַשְׁמָעוּת כַּעֲצָמִים הַמְּשַׁמְּשִׁים לַחִישּׁוּבִים.
כָּךְ לְדוּגְמָה אִם מִשְׁתַּמְּשִׁים בְּמִסְפָּר עַל מְנַת לְצַיֵּין אֶת כַּמּוּת הַכֶּסֶף שֶׁאִישׁ הִפְקִיד בַּבַּנְק, כְּלוֹמַר כְּמוֹת הַכֶּסֶף שֶׁהַבַּנְק חַיָּיב לָאִישׁ, אֲזַי הַמְּסַפֵּר 0 מְצַיֵּין מַצָּב שֶׁבּוֹ לְאִישׁ אֵין כֶּסֶף בַּבַּנְק, וְאִילּוּ מִסְפָּרִים שְׁלִילִיִּים מְצַיְּינִים שֶׁהָאִישׁ חַיָּיב כֶּסֶף לַבַּנְק.
בְּאוֹפֶן זֶה מִסְפָּרִים שְׁלִילִיִּים מְקִלִּים עַל חִישּׁוּבִים מִכֵּיוָון שֶׁהֵם מְאַפְשְׁרִים לֹא לְהַפְרִיד בֵּין מִקְרִים שׁוֹנִים - הֵם מְאַפְשְׁרִים הַחְסָרָה שֶׁל מִסְפָּר גָּדוֹל מִמִּסְפָּר קָטָן מִמֶּנּוּ (דָּבָר שֶׁאֵינֶנּוּ אֶפְשָׁרִי אִם הַמּוּשָּׂג מִסְפָּר מְצוּמְצָם לְמִסְפָּרִים חִיּוּבִיִּים בִּלְבַד).

הַהִתְיַיחֲסוּת אֶל מִסְפָּרִים כְּאֶל עֲצָמִים שֶׁבָּהֶם נַעֲשָׂה שִׁימּוּשׁ בִּפְעוּלּוֹת חִישּׁוּב, אִפְשְׁרָה גַּם הִתְיַיחֲסוּת אֶל מִסְפָּרִים מְרוּכָּבִים כְּאֶל מִסְפָּרִים.
מִסְפָּרִים אֵלּוּ, שֶׁהוּמְצְאוּ עַל יָדִי גִ'ירוֹלְמוֹ קַרְדָּאנוּ בִּתְחִילַּת הַמֵּאָה הַ-16, הֵם הַתּוֹצָאָה שֶׁל פְּעוּלּוֹת חֶשְׁבּוֹן כְּמוֹ הוֹצָאַת שׁוֹרֶשׁ רִיבּוּעִי שֶׁל מִסְפָּר שְׁלִילִי.

הַהַגְדָּרוֹת הַפוֹרְמָלִיּוֹת לְמִסְפָּרִים כְּאֶל עֲצָמִים שֶׁנִּיתָּן לִפְעוֹל עֲלֵיהֶם עִם פְּעוּלּוֹת חֶשְׁבּוֹן הֵחֵלָּה עִם הַצָּגַת הַמּוּשָּׂג "שָׂדֶה" עַל יָדִי רִיכַרְד דַּדְקִינְד בְּ-1877, הַגְדָּרָה שֶׁאוֹתָהּ שִׁיפֵּר הַיְינְרִיךְ מַרְטִין וֶבֶּר בְּ-1893, עִם הַפִּיתּוּחַ הָאַקְסְיוֹמָטִי שֶׁל ג'וּזֶפֶּה פָאנוּ לְמוּשַּׂג הַמִּסְפָּרִים הַטִּבְעִיִּים, וְכֵן עִם פִּיתּוּחַ תּוֹרַת הַקְּבוּצוֹת הָאַקְסְיוֹמָטִית בִּתְחִילַּת הַמֵּאָה הַ-20.

הַמִּסְפָּרִים הַטִּבְעִיִּים

מִסְפָּרִים טִבְעִיִּים הֵם הַמִּסְפָּרִים הַמְּשַׁמְּשִׁים בְּחַיֵּי הַיּוֹם יוֹם כְּדֵי לִסְפּוֹר עֲצָמִים - תַּפּוּחַ אֶחָד, שְׁנַיִים, שְׁלוֹשָׁה וְכֵן הָלְאָה.
הַמּוֹדֵל הַמָּתֵמָטִי שֶׁל הַמִּסְפָּרִים הַטִּבְעִיִּים מִתְיַיחֵס לְכָל סוּג עֲצָמִים שֶׁנִּיתָּן לִמְנוֹת.
הַמִּסְפָּרִים הַטִּבְעִיִּים, כְּמוֹ 1, 3 אוֹ 18, מְשַׁמְּשִׁים לַסְּפִירָה אוֹ לְסִידּוּר שֶׁל עֲצָמִים.
הַפִּיתּוּחַ הָאַקְסְיוֹמָטִי, הַמְּסוּדָּר, שֶׁל מַעַרְכוֹת מִסְפָּרִים הֵחֵל בְּנִיסְּיוֹנוֹ שֶׁל ג'וּזֶפֶּה פָאנוּ, בִּסְבִיבוֹת 1880, לְבָנוֹת מַעֲרֶכֶת שֶׁל אַקְסְיוֹמוֹת שֶׁתִּתְפּוֹס בְּדַיְיקָנוּת אֶת מָה שֶׁאֲנַחְנוּ מְצַפִּים מִן הַמִּסְפָּרִים הָאֵלֶּה.
אַקְסְיוֹמוֹת אֵלֶּה נוּסְּחוּ בְּמָה שֶׁמְּאוּחָר יוֹתֵר יִיקָּרֵא בְּלוֹגִיקָה מָתֵמָטִית שָׂפָה מִסְדָּר רִאשׁוֹן.
הָרַעְיוֹן הַבְּסִיסִי שֶׁל פַּאנוּ הָיָה שֶׁכְּדֵי לְתָאֵר אֶת הַמִּסְפָּרִים הַטִּבְעִיִּים מַסְפִּיק לְהַנִּיחַ שֶׁקִּייֵּם אֵיבַר קָטָן בְּיוֹתֵר (הָאֶפֶס), וְשֶׁלְּכָל אֵיבַר יֵשׁ עוֹקֵב (הָעוֹקֵב שֶׁל 7 הוּא 8, וְכֵן הָלְאָה).
מֵהֲנָחוֹת אֵלֶּה, יַחַד עִם אַקְסְיוֹמַת הָאִינְדּוּקְצִיָּה, הוּא פִּיתֵּחַ אֶת מַעֲרֶכֶת פַּאנוּ שֶׁל הַמִּסְפָּרִים הַטִּבְעִיִּים.

הָאִינְדּוּקְצִיָּה מְאַפְשֶׁרֶת לְהַגְדִּיר אֶת פְּעוּלַּת הַחִיבּוּר: אִם נְסַמֵּן ב- אֶת הָעוֹקֵב שֶׁל, אָז הוֹסָפַת 1 מוּגְדֶּרֶת לְפִי , בְּעוֹד שֶׁהוֹסָפַת כָּל מִסְפָּר גָּדוֹל יוֹתֵר מוּגְדֶּרֶת כְּעוֹקֶב שֶׁל פְּעוּלַּת חִיבּוּר שֶׁכְּבָר הוּגְדְּרָה.
בְּאוֹפֶן דּוֹמֶה אֶפְשָׁר לְהַגְדִּיר גַּם אֶת הַכֶּפֶל .
פָאנוֹ הֶרְאָה שֶׁפְּעוּלּוֹת אֵלֶּה מְקַיְּימוֹת אֶת כָּל הַתְּכוּנוֹת הַמּוּכָּרוֹת שֶׁל חִיבּוּר וְכֶפֶל: קוֹמוֹטֵטִיבִיּוֹת, אַסּוֹצְיָאטִיבִיּוּת, וְדִיסְטְרִיבְּיוּטִיבִיּוּת.
עוֹד תְּכוּנָה יְסוֹדִית הַמְּשׁוּלֶּבֶת בַּמַּעֲרֶכֶת שֶׁל פַּאנוּ: יֶשְׁנוֹ יַחַס סֵדֶר הַמְּאַפְשֵׁר לְהַשְׁווֹת שְׁנֵי מִסְפָּרִים טִבְעִיִּים וְלִקְבּוֹעַ מִי מֵהֶם גָּדוֹל יוֹתֵר.
יַחַס הַסֵּדֶר הַזֶּה הוּא יַחַס סֵדֶר לִינֵיאָרִי שֶׁהוּא גַּם סֵדֶר טוֹב.

מְאוּחָר יוֹתֵר, בַּמִּסְגֶּרֶת הַכְּלָלִית יוֹתֵר שֶׁל תּוֹרַת הַקְּבוּצוֹת הָאַקְסְיוֹמָטִית, בִּיקְּשׁוּ הַלּוֹגִיקָאִים לְבַסֵּס אֶת הַמִּסְפָּרִים הַטִּבְעִיִּים עַל הַמּוּשָּׂג הַיְּסוֹדִי שֶׁל קְבוּצָה.
גּ'וֹן פוֹן נוֹיְמָן בְּנָהּ מוֹדֵל לָאַקְסְיוֹמוֹת שֶׁל פִּאנוֹ בְּאֶמְצָעוּת שִׁימּוּשׁ בִּקְבוּצוֹת.
הוּא הִצִּיעַ לִבְחוֹר אֶת הַקְּבוּצָה הָרֵיקָה כְּאֵיבַר הָאֶפֶס, וּלְהַגְדִּיר אֶת הַמִּסְפָּרִים הַבָּאִים בָּאִינְדּוּקְצִיָּה: , כַּאֲשֶׁר הִיא פְּעוּלַּת הָאִיחוּד שֶׁל קְבוּצוֹת.
מֵהַגְדָּרָה זוֹ יוֹצֵא שֶׁהַמִּסְפָּר 1 הוּא הַקְּבוּצָה שֶׁיֵּשׁ לָהּ אֵיבַר יָחִיד, 0; 2 הִיא הַקְּבוּצָה שֶׁיֵּשׁ לָהּ שְׁנֵי אֵיבָרִים, 0 וְ-1, וּבְאוֹפֶן כְּלָלִי הַמִּסְפָּר n הוּא הַקְּבוּצָה שֶׁיֵּשׁ בָּהּ בְּדִיּוּק n אֵיבָרִים.
מוֹדֵל זֶה נִיתָּן לְנִיסּוּחַ בְּמִסְגֶּרֶת הַשָּׂפָה שֶׁל תּוֹרַת הַקְּבוּצוֹת (עִם אַקְסְיוֹמוֹת צֶרְמֵלוֹ פְרֶנְקֶל).

אֶת מַעֲרֶכֶת הַמִּסְפָּרִים הַטִּבְעִיִּים מְקוּבָּל לְסַמֵּן בָּאוֹת.
לִפְעָמִים הַכַּוָּונָה הִיא לַקְּבוּצָה הַכּוֹלֶלֶת אֶת כָּל הַמִּסְפָּרִים מֵאֶפֶס וְאֵילָךְ, וְלִפְעָמִים רַק אֶת אֵלּוּ הַגְּדוֹלִים מַמָּשׁ מֵאֶפֶס.

הַמִּסְפָּרִים הַשְּׁלֵמִים
לְאַחַר שֶׁנִּבְנְתָה הַמַּעֲרֶכֶת שֶׁל הַמִּסְפָּרִים הַטִּבְעִיִּים עִם פְּעוּלּוֹת הַחִיבּוּר וְהַכֶּפֶל שֶׁלָּהֶם, אֶפְשָׁר לַחֲשׁוֹב עַל מִסְפָּר שָׁלֵם כְּאִילּוּ הָיָה הֶפְרֵשׁ שֶׁל שְׁנֵי מִסְפָּרִים טִבְעִיִּים.
בְּאוֹפֶן פוֹרְמָלִי יוֹתֵר, מַגְדִּירִים יַחַס שְׁקִילוּת עַל קְבוּצַת הַזּוּגוֹת הַסְּדוּרִים , עַל יְדֵי שֶׁמְּזַהִים זוּגוֹת אִם וְרַק אִם .
בְּאוֹפֶן לֹא פוֹרְמָלִי חוֹשְׁבִים עַל מַחְלֶקֶת הַשְּׁקִילוּת שֶׁל הַזּוּג , אוֹתָהּ מְסַמְּנִים ב- , כְּאִילּוּ הִיא מְיַיצֶּגֶת אֶת הַהֶפְרֵשׁ.

כָּעֵת אֶפְשָׁר לְהַגְדִּיר אֶת פְּעוּלּוֹת הַחִיבּוּר וְהַכֶּפֶל בְּמִסְפָּרִים שְׁלֵמִים:, ו-.
אֶפְשָׁר לִבְדּוֹק שֶׁהַגְּדֵרוֹת אֵלּוּ מוּגְדָּרוֹת הֵיטֵב (כְּלוֹמַר אֵינָן תְּלוּיוֹת בִּבְחִירַת הַנְּצִיגִים), וְשֶׁהַפְּעוּלּוֹת לֹא אִיבְּדוּ אֶת הַתְּכוּנוֹת הַטּוֹבוֹת שֶׁהָיוּ לָהֶן קוֹדֶם לָכֵן.
בְּנוֹסָף לְזֶה מַרְוִויחִים תְּכוּנָה חֲדָשָׁה: לְכָל מִסְפָּר  יֵשׁ מִסְפַּר כָּךְ שֶׁסְּכוּמָם הוּא אֶפֶס.
יְתֵרָה מִזּוֹ, קְבוּצַת הַמִּסְפָּרִים הַטִּבְעִיִּים לֹא הָלְכָה לְאִיבּוּד: אִם מִתְבּוֹנְנִים בְּתַת-הַקְּבוּצָה שֶׁל הַמִּסְפָּרִים מֵהַצּוּרָה , מִתְבָּרֵר שֶׁהִיא מְקַיֶּימֶת אֶת כָּל הַתְּכוּנוֹת שֶׁהָיוּ לַמִּסְפָּרִים הַטִּבְעִיִּים.
אִם כָּךְ, קְבוּצַת הַמִּסְפָּרִים הַשְּׁלֵמִים מְכִילָה 'עוֹתֶק' שֶׁל הַמִּסְפָּרִים הַטִּבְעִיִּים בְּתוֹכָהּ.
גַּם אֶת יַחַס הַסֵּדֶר אֶפְשָׁר לְהַעְתִּיק לְכָאן, וְהוּא עֲדַיִין יַחַס סֵדֶר לִינֵיאָרִי.
כָּךְ לְמַעֲשֶׂה הוֹסַפְנוּ אֶת הַמִּסְפָּרִים הַשְּׁלִילִיִּים.

הַקְּבוּצָה שֶׁבָּנִינוּ כָּאן הִיא חוּג קוֹמוּטָטִיבִי, הַנִּקְרָא חוּג הַמִּסְפָּרִים הַשְּׁלֵמִים.
קְבוּצָה זוֹ מְסַמְּנִים בְּדֶרֶךְ-כְּלָל ב-.
זוֹהִי הַדּוּגְמָה הַבְּסִיסִית וְהַפְּשׁוּטָה בְּיוֹתֵר לִתְחוּם שְׁלֵמוּת, שֶׁהוּא בְּמִקְרֶה זֶה חוּג אוּקְלִידִי.
הַמִּסְפָּרִים הָרַצְיוֹנָלִיִּים

תַּרְשִׁים עוּגָה, לְהַמְחָשָׁה וִיזוּאָלִית שֶׁל מוּשַּׂג הַשֶּׁבֶר (אוֹ הַמִּסְפָּר הָרַצְיוֹנָלִי הַלֹּא שָׁלֵם).
שְׁלוֹשָׁה-רְבָעִים מֵהָעוּגָה צְבוּעִים בְּיָרוֹק, וְרֶבַע אֶחָד בְּכָתוֹם - כְּלוֹמַר, הַשֶּׁבֶר מְשַׁמֵּשׁ בְּמִקְרֶה זֶה כְּדֵי לְפַצֵּל אֶת הָעֶצֶם עַצְמוֹ לְחֶלְקֵי מִשְׁנָה נִפְרָדִים.
הַחִיסָּרוֹן הַבּוֹלֵט שֶׁל הַמִּסְפָּרִים הַשְּׁלֵמִים הוּא בְּכָךְ שֶׁלֹּא תָּמִיד נִיתָּן לְחַלֵּק בְּמִסְגַּרְתָּם, אוֹ, בְּמִילִּים אֲחֵרוֹת, הֵם אֵינָם סְגוּרִים תַּחַת פְּעוּלַּת הַחִילּוּק.
אֵין מִסְפָּר שָׁלֵם שֶׁאִם נַכְפִּיל אוֹתוֹ בְּשָׁלוֹשׁ יִתֵּן שֶׁבַע.
כְּדֵי לִפְתּוֹר אֶת הַבְּעָיָה, מַגְדִּירִים מַעֲרֶכֶת מִסְפָּרִים גְּדוֹלָה יוֹתֵר, שֶׁתִּכְלוֹל אֶת כָּל הַמִּסְפָּרִים הַשְּׁלֵמִים, וְגַם אֶת הַמָּנוֹת שֶׁלָּהֶם.

בְּנִיַּית הַמִּסְפָּרִים הָרַצְיוֹנָלִיִּים דּוֹמֶה לְזוֹ שֶׁהֵנִיבָה אֶת הַשָּׁלָב הַקּוֹדֵם בְּסוּלָּם, הַמִּסְפָּרִים הַשְּׁלֵמִים.
אָנוּ מִתְבּוֹנְנִים בְּאוֹסֶף הַזּוּגוֹת, כְּלוֹמַר, כָּל הַזּוּגוֹת הַסְּדוּרִים שֶׁל מִסְפָּרִים שְׁלֵמִים שֶׁבָּהֶם הָרְכִיב הַשָּׁנִי אֵינוֹ אֶפֶס, וּמַגְדִּירִים עָלָיו יַחַס שְׁקִילוּת לְפִי הַתְּנַאי.
שׁוּב אֶפְשָׁר לַחֲשׁוֹב עַל הַזּוּג  כְּאִילּוּ הוּא מְיַיצֵּג אֶת הַמָּנָה, אֶלָּא שֶׁפוֹרְמָלִית אֵינֶנּוּ יְכוֹלִים לְדַבֵּר עַל שְׁבָרִים מִשּׁוּם שֶׁעֲדַיִין לֹא בָּנִינוּ אוֹתָם.
פְּעוּלּוֹת הַחִיבּוּר וְהַכֶּפֶל בֵּין מַחְלְקוֹת הַשְּׁקִילוּת הַחֲדָשׁוֹת מוּגְדָּרוֹת עַל-פִּי הַפְּעוּלּוֹת בַּמִּסְפָּרִים הַשְּׁלֵמִים: 
שׁוּב יֵשׁ לִבְדּוֹק שֶׁהַהַגְדָּרוֹת אֵינָן תְּלוּיוֹת בִּבְחִירַת הַנְּצִיגִים, וְשֶׁהַפְּעוּלּוֹת הַחֲדָשׁוֹת מְקַיְּימוֹת אֶת אוֹתָן תְּכוּנוֹת שֶׁהִתְקַיְּימוּ בַּמַּעֲרֶכֶת הַקּוֹדֶמֶת.
אֶת יַחַס הַסֵּדֶר אֶפְשָׁר לְהַגְדִּיר כָּךְ:
הַיַּחַס עֲדַיִין לִינֵיאָרִי (כְּלוֹמַר: אִם שְׁנֵי אֵיבָרִים שׁוֹנִים זֶה מִזֶּה, אָז אֶחָד מֵהֶם גָּדוֹל מִן הַשָּׁנִי), וְכָעֵת הוּא גַּם צָפוּף.

גַּם בַּבְּנִיָּיה הַזּוֹ אֲנַחְנוּ מַרְוִויחִים תְּכוּנָה חֲדָשָׁה: לְכָל מִסְפָּר שֶׁאֵינוֹ אֶפֶס, יֵשׁ מִסְפָּר הוֹפְכִי בְּיַחַס לַכֶּפֶל.
קְבוּצָה בַּעֲלַת כָּל הַתְּכוּנוֹת הָאֵלֶּה נִקְרֵאת שָׂדֶה סָדוּר.
הַשָּׂדֶה הַסָּדוּר הַמִּתְקַבֵּל נִקְרָא שְׂדֵה הַמִּסְפָּרִים הָרַצְיוֹנָלִיִּים, וְאֵיבָרָיו הֵם מִסְפָּרִים רַצְיוֹנָלִיִּים.

הַמִּסְפָּרִים הַשְּׁלֵמִים עֲדַיִין אִיתָּנוּ: אֵלּוּ הֵם הַמִּסְפָּרִים מֵהַצּוּרָה.
אֶפְשָׁר לְחַבֵּר וּלְהַכְפִּיל אוֹתָם כְּמִסְפָּרִים שְׁלֵמִים (בְּאֶמְצָעוּת הַפְּעוּלּוֹת שֶׁהוּגְדְּרוּ ב- ) אוֹ כְּמִסְפָּרִים רַצְיוֹנָלִיִּים, וּמִתְקַבֶּלֶת אוֹתָהּ תּוֹצָאָה.

מִסְפָּרִים אַלְגֶּבְּרִיִּים

הַשּׁוֹרֶשׁ הָרִיבּוּעִי שֶׁל 2 מִסְפָּר אַלְגֶּבְּרִי לֹא רַצְיוֹנָלִי, וְהוּא אוֹרְכוֹ שֶׁל הַיֶּתֶר בִּמְשׁוּלָּשׁ יָשָׁר-זָוִוית שֶׁאוֹרֵךְ נִיצָּבָיו הוּא 1.
בְּמַעֲרֶכֶת הַמִּסְפָּרִים הָרַצְיוֹנָלִיִּים אֶפְשָׁר לְחַלֵּק, אֲבָל יֵשׁ לָהּ שְׁנֵי חֶסְרוֹנוֹת בּוֹלְטִים אֲחֵרִים:

הַמִּסְפָּרִים הָרַצְיוֹנָלִיִּים אֵינָם כּוֹלְלִים שׁוֹרָשִׁים, כְּגוֹן וְגַם אֵין בָּהֶם שׁוֹרָשִׁים לְמִשְׁוָואוֹת מְסוּבָּכוֹת יוֹתֵר, כְּמוֹ.
שְׂדֵה הַמִּסְפָּרִים הָרַצְיוֹנָלִיִּים אֵינוֹ שָׁלֵם, כְּלוֹמַר, יֵשׁ בּוֹ קְבוּצוֹת חֲסוּמוֹת שֶׁאֵין לָהֶן חֶסֶם עֶלְיוֹן (מַשְׁמָעוּתוֹ שֶׁל חִיסָּרוֹן זֶה תּוּבְהַר בַּסְּעִיף הַבָּא).
אֶת הַבְּעָיָה הָרִאשׁוֹנָה אֶפְשָׁר לִפְתּוֹר עֲבוּר כָּל פּוֹלִינוֹם וּפוֹלִינוֹם בְּאוֹפֶן פַּרְטָנִי, עַל יְדֵי יְצִירַת הַרְחָבוֹת מַתְאִימוֹת שֶׁל שְׂדֵה הָרַצְיוֹנָלִיִּים (שָׂדוֹת אֵלּוּ נִקְרָאִים שְׂדוֹת מִסְפָּרִים).
מִכָּל הַהַרְחָבוֹת הָאֵלֶּה יַחַד אֶפְשָׁר לִבְנוֹת אֶת הַסָּגוּר הָאַלְגֶּבְּרִי שֶׁל שְׂדֵה הָרַצְיוֹנָלִיִּים (הַנִּקְרָא שְׂדֵה הַמִּסְפָּרִים הָאַלְגֶּבְּרִיִּים), שֶׁבּוֹ יֵשׁ שׁוֹרֶשׁ לְכָל פּוֹלִינוֹם.

גִּישָׁה זוֹ שֶׁל פִּתְרוֹן מִשְׁוָואוֹת פּוֹלִינוֹמִיּוֹת אֵינָהּ מִתְגַּבֶּרֶת עַל חוֹסֶר הַשְּׁלֵמוּת שֶׁצִּייְּנוּ קוֹדֶם לָכֵן.
בְּנוֹסָף לְזֶה, כֵּיוָון שֶׁעֲדַיִין לֹא בָּנִינוּ שָׂדֶה גָּדוֹל יוֹתֵר, לֹא בָּרוּר אֵיךְ לְחַבֵּר אֵיבָרִים שֶׁל הַרְחָבוֹת שׁוֹנוֹת זֶה עִם זֶה, וְלָכֵן הַבְּנִיָּיה שֶׁל הַסָּגוּר הָאַלְגֶּבְּרִי דֵּי מְסוּבֶּכֶת (הִיא דּוֹרֶשֶׁת אֶת הַלְמָהּ שֶׁל צוּרָן).
מִתְבָּרֵר שֶׁגִּישָׁה אַחֶרֶת, הַמִּתְמוֹדֶדֶת רַק עִם הַחִיסָּרוֹן הַשָּׁנִי, פּוֹתֶרֶת בְּדֶרֶךְ אַגַּב גַּם אֶת הַבְּעָיָה הָרִאשׁוֹנָה, וְלָכֵן בְּפִיתּוּחַ מְסוּדָּר שֶׁל מַעַרְכוֹת הַמְּסַפְּרִים לֹא רוֹאִים צוֹרֶךְ לַעֲצוֹר בַּדֶּרֶךְ לְשֵׁם בְּנִיָּיה שֶׁל שְׂדֵה הַמִּסְפָּרִים הָאַלְגֶּבְּרִיִּים.

מִסְפָּרִים מַמָּשִׁיִּים

פַּאי הוּא הַיַּחַס שֶׁבֵּין הֶיקֵּף הַמַּעְגָּל לְקוֹטְרוֹ, אַךְ בְּשֶׁל הֱיוֹתוֹ מִסְפָּר טְרַנְסְצֶנְדֶּנְטִי (שֶׁאֵינוֹ אַלְגֶּבְּרִי) נִיתָּן לְהַצִּיג אֶת עֶרְכּוֹ רַק בְּקֵירוּב, כְּמוֹ בְּהַמְחָשָׁה זוֹ
כְּפִי שֶׁצִּיַּינּוּ, שְׂדֵה הַמִּסְפָּרִים הָרַצְיוֹנָלִיִּים אֵינוֹ שָׁלֵם, וְהַדָּבָר מַכְבִּיד מְאוֹד עַל פִּיתּוּחַ מְסוּדָּר שֶׁל הָאָנָלִיזָה.
הַמַּעֲבָר לְשָׂדֶה שָׁלֵם הוּא מְסוּבָּךְ יוֹתֵר מֵהַשְּׁלַבִּים הַקּוֹדְמִים, וּלְכָךְ יֵשׁ סִיבָּה עֶקְרוֹנִית.
כָּל הַמַּעֲרָכוֹת שֶׁרָאִינוּ עַד כָּאן: הַטִּבְעִיִּים, הַשְּׁלֵמִים, הָרַצְיוֹנָלִיִּים וַאֲפִילּוּ הַמִּסְפָּרִים הָאַלְגֶּבְּרִיִּים, הֵן בְּנוֹת מְנִיָּיה.
בִּבְנִיַּית הַשָּׂדֶה הַשָּׁלֵם, שְׂדֵה הַמִּסְפָּרִים הַמַּמָּשִׁיִּים, אֲנַחְנוּ צְרִיכִים לְיַיצֵּר קְבוּצָה בַּעֲלַת עוֹצְמָה גְּדוֹלָה יוֹתֵר, בַּמִּקְרֶה הַזֶּה עוֹצְמַת הָרֶצֶף.

אֶת אִי-הַשְּׁלֵמוּת שֶׁל הַמִּסְפָּרִים הָרַצְיוֹנָלִיִּים אֶפְשָׁר לְנַסֵּחַ בִּשְׁתֵּי דְּרָכִים:

יֶשְׁנָן קְבוּצוֹת חֲסוּמוֹת שֶׁאֵין לָהֶן חַסָּם עֶלְיוֹן, דְּהַיְינוּ חַסָּם מִלְּעֵיל מִינִימָלִי.
לְדוּגְמָה, קְבוּצַת הַמִּסְפָּרִים הַקְּטַנִּים מֵאַרְבַּע בַּעֲלֵי סִינוּס חִיּוּבִי הִיא כַּמּוּבָן קְבוּצָה חֲסוּמָה.
כָּל מִסְפָּר (רַצְיוֹנָלִי) גָּדוֹל מִפַּאי, גָּדוֹל מִכָּל הָאֵיבָרִים בִּקְבוּצָה זוֹ וְלָכֵן הוּא חַסָּם מִלְּעֵיל.
אֲבָל פַּאי אֵינוֹ מִסְפָּר רַצְיוֹנָלִי, וְלָכֵן בִּקְבוּצַת הַמִּסְפָּרִים הָרַצְיוֹנָלִיִּים הַגְּדוֹלִים מִפַּאי אֵין אֵיבַר קָטָן בְּיוֹתֵר.
יֶשְׁנָן סִדְרוֹת קוּשִׁי שֶׁאֵינָן מִתְכַּנְּסוֹת.
בְּדֶרֶךְ כְּלָל מְפַתְּחִים אֶת הַמּוּשָּׂגִים 'סִדְרַת קוּשִׁי' וְ'סִדְרָה מִתְכַּנֶּסֶת' אַחֲרֵי שֶׁנִּבְנָה הַשָּׂדֶה הַמַּמָּשִׁי, וְלָכֵן חָשׁוּב לְהַדְגִּישׁ כָּאן שֶׁאֶפְשָׁר לְהַגְדִּיר מוּשָּׂגִים אֵלֶּה כְּבָר אַחֲרֵי שֶׁבָּנִינוּ אֶת הַשָּׂדֶה הָרַצְיוֹנָלִי (לַצְפִיפוּת וְהָאַרְכִימֵדִיּוֹת יֵשׁ כָּאן תַּפְקִיד חָשׁוּב).
כְּנֶגֶד שְׁתֵּי הַמִּגְבָּלוֹת הָאֵלֶּה שֶׁל שְׂדֵה הָרַצְיוֹנָלִיִּים, הוּצְּעוּ בְּ-1872 שְׁתֵּי גִּישׁוֹת לִבְנִיַּית שְׂדֵה הַמִּסְפָּרִים הַמַּמָּשִׁיִּים.
רִיכַרְד דֶּדֶקִינְד הִצִּיעַ בְּנִיָּיה הַמְּבוּסֶּסֶת עַל חֲתָכֵי דֶּדֶקִינְד, שֶׁהֵם קְבוּצוֹת A שֶׁל מִסְפָּרִים רַצְיוֹנָלִיִּים (בְּשָׁלָב זֶה - אֵלּוּ הַמְּסַפְּרִים הָעוֹמְדִים לִרְשׁוּתֵנוּ) הַמְּקַיְּימוֹת אַרְבַּע דְּרִישׁוֹת:

הַקְּבוּצָה A אֵינָהּ רֵיקָה.
הַקְּבוּצָה A אֵינָהּ כּוֹלֶלֶת אֶת כָּל הָרַצְיוֹנָלִיִּים.
כָּל אֵיבַר בְּ- A קָטָן מִכָּל אֵיבַר שֶׁאֵינוֹ בַּ- A.
אֵין לְ- A אֵיבַר מַקְסִימָלִי.
קְבוּצָה בַּעֲלַת תְּכוּנוֹת אֵלֶּה נִקְרֵאת כָּאָמוּר 'חֲתָךְ דָּדָקִינְד', וַחֲתָכִים אֵלּוּ הֵם הַמִּסְפָּרִים הַמַּמָּשִׁיִּים.
דֶּדְקִינְד הֶרְאָה אֵיךְ לְהַגְדִּיר חִיבּוּר וְכֶפֶל עַל קְבוּצוֹת אֵלֶּה, בְּאוֹפֶן שֶׁיִּכְבַּד אֶת כָּל הַתְּכוּנוֹת הַקּוֹדְמוֹת.
אֶת יַחַס הַסֵּדֶר מַגְדִּירִים בְּעֶזְרַת הַהֲכָלָה (מִסְפָּר קָטָן יוֹתֵר מוּכָל בְּמִסְפָּר גָּדוֹל מִמֶּנּוּ).
אֶפְשָׁר לְזַהוֹת אֶת הַמִּסְפָּר הָרַצְיוֹנָלִי  עִם הַקְּבוּצָה , וְכָךְ, פַּעַם נוֹסֶפֶת, מְכִילָה הַקְּבוּצָה הַחֲדָשָׁה עוֹתֶק שֶׁל הַקְּבוּצָה הַקּוֹדֶמֶת שֶׁבָּנִינוּ.

אֶת קְבוּצַת הַחֲתָכִים מְסַמְּנִים בָּאוֹת.
זֶהוּ שָׂדֶה סָדוּר שָׁלֵם מִינִימָלִי: הוּא מוּכָל בְּכָל שָׂדֶה סָדוּר שָׁלֵם אַחֵר.
מִכֵּיוָון שֶׁכָּךְ, שְׂדֵה הַמִּסְפָּרִים הַמַּמָּשִׁיִּים הוּא הַשָּׂדֶה הַסָּדוּר הַשָּׁלֵם הַמִּינִימָלִי הַיָּחִיד (אִם יֵשׁ שְׁנַיִים כָּאֵלֶּה, הֵם מוּכָלִים זֶה בָּזֶה וְלָכֵן שָׁוִוים).

בְּאוֹתָהּ שָׁנָה הִצִּיעַ גֵּאוֹרְג קַנְטוֹר שִׁיטָה אַחֶרֶת לְהַשָּׂגַת אוֹתָהּ מַטָּרָה.
אֵצֶל קַנְטוֹר 'מִסְפַּר מַמְשֵׁי' הוּא מַחְלֶקֶת שְׁקִילוּת שֶׁל סִדְרוֹת קוֹשִׁי שֶׁל מִסְפָּרִים רַצְיוֹנָלִיִּים, כַּאֲשֶׁר שְׁתֵּי סִדְרוֹת קוּשִׁי שְׁקוּלוֹת זוֹ לְזוֹ אִם סִדְרַת הַהֶפְרֵשִׁים מִתְכַּנֶּסֶת לְאֶפֶס.
הַחִיבּוּר וְהַכֶּפֶל מוּגְדָּרִים עַל-פִּי רְכִיבִים.
גַּם כָּאן הַתּוֹצָאָה הִיא שָׂדֶה סָדוּר שָׁלֵם מִינִימָלִי, וּמִכָּאן שֶׁקָּנְטוֹר וְדֶדֶקִינְד בָּנוּ (בָּאֳופָנִים שׁוֹנִים) אֶת אוֹתָהּ הַמַּעֲרֶכֶת.

מִסְפָּרִים מְרוּכָּבִים

יִצּוּג חָזוּתִי נָפוֹץ שֶׁל הַמִּסְפָּרִים הַמְּרוּכָּבִים הוּא בְּשִׁילּוּב שֶׁל צִיר הַמִּסְפָּרִים הָרָגִיל, וּבִמְאוּנָּךְ לוֹ צִיר דּוֹמֶה לְמִסְפָּרִים מְדוּמִּים, כַּאֲשֶׁר הַמִּסְפָּרִים הַמְּרוּכָּבִים מִתְקַבְּלִים מֵחִיבּוּר נְקוּדּוֹת עַל שְׁנֵי הַצִּירִים
לִשְׂדֵה הַמִּסְפָּרִים הַמַּמָּשִׁיִּים יֵשׁ עֲדַיִין חִיסָּרוֹן אֶחָד: אֵין בּוֹ שׁוֹרֶשׁ שֶׁל מִסְפָּרִים שְׁלִילִיִּים.
זוֹ אֵינָהּ בְּעָיָה יִיחוּדִית לַמִּסְפָּרִים הַמַּמָּשִׁיִּים - בְּכָל שָׂדֶה סָדוּר (שָׂדֶה שֶׁיֵּשׁ בּוֹ סֵדֶר, וְלָכֵן מִסְפָּרִים חִיּוּבִיִּים וּשְׁלִילִיִּים) הַמַּכְפֵּלָה שֶׁל חִיּוּבִי בְּחִיּוּבֵי הִיא חִיּוּבִית, וְגַם הַמַּכְפֵּלָה שֶׁל שְׁלִילִי בִּשְׁלִילֵי הִיא חִיּוּבִית, וּמִכָּאן שֶׁאֵין מִסְפָּר שֶׁרִיבּוּעוֹ שְׁלִילִי.
אִם רוֹצִים שׁוֹרָשִׁים לְמִסְפָּרִים שְׁלִילִיִּים, מוּכְרָחִים לְוַותֵּר עַל יַחַס הַסֵּדֶר.

שָׂדֶה כָּזֶה אֶפְשָׁר לְקַבֵּל עַל יְדֵי הַגְדָּרַת פְּעוּלּוֹת חִיבּוּר וְכֶפֶל עַל זוּגוֹת סְדוּרִים שֶׁל מִסְפָּרִים מַמָּשִׁיִּים: הוֹפֶכֶת תַּחַת פְּעוּלּוֹת אֵלֶּה לְשָׂדֶה סָגוּר אַלְגֶּבְּרִית שֶׁהוּא גַּם מֶרְחָב מֶטְרִי שָׁלֵם.
שָׂדֶה זֶה, אוֹתוֹ מְסַמְּנִים, נִקְרָא שְׂדֵה הַמִּסְפָּרִים הַמְּרוּכָּבִים, וְהוּא הַמַּצָּע לְכָל הַפְּעִילוּת בְּאָנָלִיזָה.
בְּתוֹר אוֹסֶף שֶׁל זוּגוֹת סְדוּרִים, הוּא מֶרְחַב וֶקְטוֹרִי מֵעַל הַשָּׂדֶה הַמַּמָּשִׁי, וּמְמַדּוֹ 2.
אִינְטוּאִיטִיבִית, מִסְפָּר מְרוּכָּב הוּא לְמַעֲשֶׂה תּוֹצְאַת חִיבּוּר שֶׁל מִסְפָּר מְדוּמֶּה, כְּלוֹמַר שׁוֹרֶשׁ שֶׁל מִסְפָּר שְׁלִילִי, עִם מִסְפָּר מַמָּשִׁי - שׁוֹרֶשׁ שֶׁל מִסְפָּר חִיּוּבִי.

יְצִירָתָם שֶׁל הַמִּסְפָּרִים הַמְּרוּכָּבִים מְיוּחֶסֶת לְגִ'ירוֹלְמוֹ קַרְדָּאֵנוּ בִּתְחִילַּת הַמֵּאָה הַ-16, שֶׁנֶּעֱזַר בָּהֶם כְּדֵי לִפְתּוֹר אֶת הַמִּשְׁוָואָה מִמַּעֲלָה שְׁלִישִׁית.
הַמִּסְפָּרִים הוּגְדְּרוּ בִּמְפוֹרָשׁ, בִּשְׁנַת 1572 עַל יְדֵי רְפָאֵל בּוֹמְבְּלִי.
בְּאוֹתָהּ עֵת נֶחְשְׁבוּ מִסְפָּרִים כָּאֵלֶּה לְבִלְתִּי קַיָּימִים.
מָתֵמָטִיקָאִים הִתְקַשּׁוּ לְקַבֵּל אֶת הַמּוּשָּׂג הֶחָדָשׁ, וְהַדָּבָר בָּא לִידֵי בִּיטּוּי גַּם בַּשֵּׁם שֶׁנִּיתָּן לְמִסְפָּרִים אֵלֶּה.
דֵּקַארְט, הָרִאשׁוֹן שֶׁהִשְׁתַּמֵּשׁ בַּמּוּשָּׂג "מִסְפָּר מְדוּמֶּה" בִּשְׁנַת 1637, הִתְיַיחֵס בְּכָךְ לָמָּה שֶׁקָּרוּי כַּיּוֹם "מִסְפָּר מְרוּכָּב".
הַמִּסְפָּרִים הַמְּרוּכָּבִים נִכְנְסוּ לְמָתֵמָטִיקָה בְּאוֹפֶן מָלֵא בְּעִקְבוֹת עֲבוֹדוֹתֵיהֶם שֶׁל אוֹיְלֵר וְגָאוּס.
מַעַרְכוֹת מִסְפָּרִים נוֹסָפוֹת
אַלְגֶּבְּרוֹת קַיְילִי-דִּיקְסוֹן
מַעַרְכוֹת מִסְפָּרִים גְּדוֹלוֹת מִשְּׂדֵה הַמִּסְפָּרִים הַמְּרוּכָּבִים אֵינָן מְקַיְּימוֹת אֶת מְלוֹא הַתְּכוּנוֹת שֶׁל אֵלֶּה, אֲבָל יֵשׁ לָהֶן כַּמָּה תְּכוּנוֹת מְעַנְיְינוֹת.
הַמִּבְנֶה הַטִּיפּוּסִי כָּאן צָרִיךְ לִהְיוֹת מֶרְחַב וֶקְטוֹרִי מֵעַל, שֶׁאֶפְשָׁר לְהַגְדִּיר בּוֹ פְּעוּלַּת כֶּפֶל מוּצְלַחַת.
מַעֲרָכוֹת כָּאֵלֶּה אָכֵן קַיָּימוֹת, אֶלָּא שֶׁבַּהִיפּוּךְ מוּזָר שֶׁל הַמְּגַמָּה שֶׁרָאִינוּ עַד כֹּה, בְּכָל צַעַד שֶׁל הַבְּנִיָּיה מְאַבְּדִים תְּכוּנָה חֲשׁוּבָה.
מֵעַל לִשְׂדֵה הַמִּסְפָּרִים הַמְּרוּכָּבִים בְּנָהּ וִילְיָאם רוֹאָן הֵמִילְטוֹן אֶת אַלְגֶּבְּרַת הַקְּוָוטֶרְנְיוֹנִים, שֶׁאֵינָהּ שָׂדֶה אֶלָּא אַלְגֶּבְּרָה לֹא קוֹמוּטָטִיבִית עִם חִילּוּק.
בִּקְוָוטֶרְנְיוֹנִים יֶשְׁנָם אֵינְסוֹף עֳותָקִים שֶׁל שְׂדֵה הַמִּסְפָּרִים הַמְּרוּכָּבִים.

אַלְגֶּבְּרַת הַקְּוָוטֶרְנְיוֹנִים הִיא אַלְגֶּבְּרָה אַסּוֹצְיָאטִיבִית.
קַיֶּימֶת אַלְגֶּבְּרָה מִמֵּמַד 8, אַלְגֶּבְּרַת הָאוֹקְטוֹנְיוֹנִים, שֶׁהִיא עֲדַיִין אַלְגֶּבְּרָה עִם חִילּוּק (כְּלוֹמַר, לְכָל אֵיבַר שֶׁאֵינוֹ אֶפֶס קַיָּים הִפְכִי), אֲבָל אֵינָהּ אַסּוֹצְיָאטִיבִית: זוֹהִי אַלְגֶּבְּרָה אַלְטֶרְנָטִיבִית, הַמְּכִילָה עוֹתֶק שֶׁל אַלְגֶּבְּרַת הַקְּוָוטֶרְנְיוֹנִים.

הַמַּעֲבָרִים מִן הַמַּמָּשִׁיִּים לִמְרוּכָּבִים, מִן הַמְּרוּכָּבִים לִקְוָוטֶרְנְיוֹנִים וּמִשָּׁם לְאוֹקְטוֹנְיוֹנִים הֵם כּוּלָּם מִקְרִים פְּרָטִיִּים שֶׁל הַבְּנִיָּיה שֶׁל אַלְגֶּבְּרוֹת קַיְילִי-דִּיקְסוֹן, הַמְּיַיצֶּרֶת מֵאַלְגֶּבְּרָה עִם אִינְוָולוּצְיָה מִמֵּמַד n אַלְגֶּבְּרָה חֲדָשָׁה, מִמֵּמַד 2n.
הָאַלְגֶּבְּרָה שֶׁל קַיְילִי-דִּיקְסוֹן מִמֵּמַד 16 הִיא אַלְגֶּבְּרָה לֹא אַסּוֹצְיָאטִיבִית שֶׁאֵינָהּ אֲפִילּוּ אַלְטֶרְנָטִיבִית.

מַעַרְכוֹת מִסְפָּרִים אָרִיתְמֵטִיּוֹת
שָׂדוֹת אֲחֵרִים שֶׁאֶפְשָׁר לִרְאוֹת כְּמַעֲרָכוֹת שֶׁל מִסְפָּרִים הֵן שְׂדֵה הַמִּסְפָּרִים הַ-p-אֵדִיִּים שֶׁהוּא הַהַשְׁלָמָה שֶׁל הַשָּׂדֶה הָרַצְיוֹנָלִי בְּיַחַס לְהַעֲרָכָה לֹא אַרְכִימֵדִית, וְהַשָּׂדֶה שֶׁל הַמִּסְפָּרִים הַסּוֹרְיָאלִיסְטִיִּים.

מְסַפְּרִים סוּדָרִים
הַמַּעֲבָר מִן הַמִּסְפָּרִים הַטִּבְעִיִּים אֶל הַשְּׁלֵמִים מְבוּסָּס עַל פְּעוּלַּת הַחִיסּוּר.
אִם מְוַותְּרִים עַל פְּעוּלָּה זוֹ וּמַעֲדִיפִים לְהַכְלִיל אֶת תְּכוּנוֹת הַסְּפִירָה שֶׁל הַמִּסְפָּרִים הַטִּבְעִיִּים (כָּךְ שֶׁיָּכוּלוּ גַּם עַל גְּדָלִים אֵינְסוֹפִיִּים), מִתְקַבְּלִים הַמִּסְפָּרִים הַמּוֹנִים, אוֹ הַמִּסְפָּרִים הַסּוֹדְרִים, הַכּוֹלְלִים אֶת הַמּוֹנִים בְּתוֹכָם.

מַעַרְכוֹת מְסַפְּרִים בַּפִילוֹסוֹפְיָה שֶׁל הַמָּתֵמָטִיקָה
מוּשְּׂגֵי מַעַרְכוֹת הַמִּסְפָּרִים עוֹרְרוּ תְּהִיּוֹת פִילוֹסוֹפִיּוֹת רַבּוֹת.
הַאִם הַמִּסְפָּרִים הַשְּׁלֵמִים, הַמַּמָּשִׁיִּים וְהַמְּרוּכָּבִים "קַיָּימִים" בְּאוֹתָהּ מִידָּה? גַּם הוֹגֵיהֶם הָרִאשׁוֹנִים שֶׁל הַמִּסְפָּרִים הַמְּדוּמִּים וְהַמְּרוּכָּבִים סָבְרוּ שֶׁמְּדוּבָּר בְּמִסְפָּרִים דִּמְיוֹנִיִּים.
כָּךְ, לְדוּגְמָה, לֵאוֹפּוֹלְד קְרוֹנְקֶר טָעַן כִּי "אֱלוֹהִים יָצַר אֶת הַמִּסְפָּרִים הַטִּבְעִיִּים, כָּל הַיֶּתֶר הוּא מַעֲשֵׂה הָאָדָם".

נִיתָּן לִשְׁאוֹל בְּהֶקְשֵׁר זֶה הָאֵם נִיתָּן לִמְצוֹא הַקַּבָּלָה לְעוֹלָם הַחוּשִׁי בְּמִסְפָּרִים שׁוֹנִים.
אֶפְשָׁר לְהַקְבִּיל אֶת הַמִּסְפָּר הַטִּבְעִי 2 לִשְׁנֵי תַּפּוּחִים, אֶת הַמִּסְפָּר הַשָּׁלֵם הַשְּׁלִילִי 2- לַחוֹב שֶׁל שְׁנֵי תַּפּוּחִים וְאֶת הַמִּסְפָּר הָרַצְיוֹנָלִי 1/2 כְּחֶצְיוֹ שֶׁל תַּפּוּחַ.
בְּמִסְפָּרִים הָאִי-רַצְיוֹנָלִיִּים נִתְקָלִים בְּקוֹשִׁי מְסוּיָּם בְּמוֹדֵל הַתְּפוּחִים, אַךְ עֲבוּר אֵלּוּ מֵהֶם הַנִּכְלָלִים בִּשְׂדֵה הַמִּסְפָּרִים הַנִּיתָּנִים לִבְנִיָּיה קַל לִפְתּוֹר אוֹתוֹ.
כָּךְ לְמָשָׁל אֶת הַמְּסַפֵּר הָאִי רַצְיוֹנָלִי הַשּׁוֹרֶשׁ הָרִיבּוּעִי שֶׁל 2 נִיתָּן לְהַצִּיג, עַל פִּי מִשְׁפַּט פִּיתְגוּרְס, כַּיַּחַס בֵּין אוֹרֶךְ הַיֶּתֶר לְאוֹרֶךְ הַנִּיצָּב בִּמְשׁוּלָּשׁ יָשָׁר-זָוִוית וּשְׁוֵוה-שׁוֹקַיִים.

לְעוּמַּת זֹאת, עֲבוּר מִסְפָּרִים שֶׁאֵינָם נִיתָּנִים לִבְנִיָּיה, וְעַל אַחַת כַּמָּה וְכַמָּה שֶׁאֵינָם מַמָּשִׁיִּים, קָשֶׁה לִמְצוֹא עֶצֶם חוּץ מָתֵמָטִי שֶׁיְּקַיֵּים אֶת תְּכוּנוֹתֵיהֶם.
עִם זֹאת, הַמִּסְפָּרִים הַמְּרוּכָּבִים שִׁימּוּשִׁיִּים, בֵּין הַשְּׁאָר, בְּתוֹרַת הַחַשְׁמַל וּבְמֵכָנִיקַת הַקְּוַונְטִים, כָּךְ שֶׁיֵּשׁ לָהֶם גַּם נְגִיעָה לְעוֹלָם הַמַּמָּשִׁי.

הַתּוֹמְכִים בָּעֶמְדָּה לְפִיהָ מַעֲמָדָם שֶׁל הַמִּסְפָּרִים הַמַּמָּשִׁיִּים וְהַלֹּא מַמָּשִׁיִּים שָׁוֶוה מַזְכִּירִים כִּי כָּל מַעַרְכוֹת הַמְּסַפְּרִים נִבְנוּ כְּדֵי לְמַלֵּא חוֹסָרִים בְּמַעֲרֶכֶת הַמּוּכֶלֶת בָּהֶם, וְטוֹעֲנִים כִּי לְפִיכָךְ אֵין הֶבְדֵּל מַהוּתִי בֵּין בְּנִיַּית 2- כְּ"2 פָּחוֹת 4" לְבֵין בְּנִיַּית i כִּ"שׁוֹרֶשׁ הָרִיבּוּעִי שֶׁל 1-".
אָכֵן, מִבְּחִינָה הִיסְטוֹרִית הַמִּסְפָּרִים הַשְּׁלִילִיִּים וְהָאִי-רַצְיוֹנָלִיִּים זָכוּ לַיַּחַס מְפַקְפֵּק לֹא פָּחוֹת מֵהַמְּדוּמִּים, וּבִפְרָט יָדוּעַ סִיפּוּר הָעָם עַל פִּיו הִשְׁלִיכוּ תַּלְמִידָיו שֶׁל פִּיתְגוּרְס אֶת תַּלְמִידוֹ הִיפָּאסוֹס לַנָּהָר בְּשֶׁל גִּילּוּי הָאִי-רַצְיוֹנָלִיּוּת שֶׁל הַשּׁוֹרֶשׁ הָרִיבּוּעִי שֶׁל 2.
לְמַעֲשֶׂה, הָאֲמִירָה לְפִיהָ פִּיתָגוֹרָאִים גִּילּוּ אֶת קִיּוּמָם שֶׁל מְסַפְּרִים אִי-רַצְיוֹנָלִיִּים הִיא אָנַכְרוֹנִיזְם.
כָּל תַּגְלִיתָם הִיא שֶׁקַּיָּימִים קְטָעִים חַסְרֵי מִידָּה מְשׁוּתֶּפֶת, מָה שֶׁמַּקְבִּיל בְּעֵינַיִים מוֹדֶרְנִיּוֹת לְקִיּוּם מְסַפְּרִים אִי-רַצְיוֹנָלִיִּים, וּלְפִיכָךְ נִיתָּן לִרְאוֹת שֶׁגַּם מָה שֶׁנִּרְאֶה כְּגִילּוּי שֶׁאֵין לְהַכְחִישׁוֹ, מְקַבֵּל פַּרְשָׁנוּת אַחֶרֶת בְּהֶתְאֵם לַחֲשִׁיבָה שֶׁל אוֹתוֹ זְמַן.
בְּאוֹפֶן דּוֹמֶה, בְּכָל תְּקוּפַת תּוֹר הַזָּהָב שֶׁל הַמָּתֵמָטִיקָאִים הִיוּוּנִים אִישׁ מֵהֶם לֹא דָּן בְּמִסְפָּרִים שְׁלִילִיִּים, רַעֲיוֹן שֶׁהִתְפַּתֵּחַ רַק בְּהוֹדּוּ בַּמֵּאָה הַ-7, פָּחוֹת אוֹ יוֹתֵר, אַף עַל פִּי שֶׁהָיוּ יְדוּעוֹת מִשְׁוָואוֹת שֶׁתּוֹצְאוֹתֵיהֶן, לִכְאוֹרָה, שְׁלִילִיּוֹת.
בְּאוֹפֶן דּוֹמֶה, גַּם הַמִּסְפָּרִים הַמְּרוּכָּבִים הִתְקַבְּלוּ רַק כְּשֶׁהִבְשִׁילוּ הַתַּנָּאִים.
גִ'ירוֹלְמוֹ קַרְדָּאֵנוּ, בְּבוֹאוֹ לִפְתּוֹר אֶת הַמִּשְׁוָואָה, הִגִּיעַ לַבִּיטּוּי שֶׁכְּלָל אֶת הַמִּסְפָּר.
בְּסִפְרוֹ "הָאָמָּנוּת הַגְּדוֹלָה" (Ars magna) פִּרְסֵם קַרְדָּאֵנוּ פִּתְרוֹן הַכּוֹלֵל הִתְיַיחֲסוּת רִאשׁוֹנָה לָרַעְיוֹן כִּי יִיתָּכֵן מִסְפָּר שֶׁהוּא שׁוֹרֶשׁ רִיבּוּעִי שֶׁל מִסְפָּר שְׁלִילִי, אַךְ קַרְדָּאֵנוּ לֹא הֵבִין אֶת גּוֹדֶל תַּגְלִיתוֹ וְרָאָה בְּמִסְפָּרִים אֵלּוּ "מִסְפָּרִים חַסְרֵי תּוֹעֶלֶת", וְהִתְפַּתְּחוּת הַמָּתֵמָטִיקָה הַמִּתְקַדֶּמֶת בְּנוֹשֵׂא זֶה מְאוּחֶרֶת יוֹתֵר.
בְּכָל אוֹפֶן, גִּילּוּי (אוֹ הַמְּצָאַת) הַמִּסְפָּרִים הַשְּׁלִילִיִּים, הָאִי-רַצְיוֹנָלִיִּים וְהַמְּרוּכָּבִים קָדַם לְנִיסּוּחַ הָרִיגוֹרוֹזִי שֶׁל בְּנִיָּיתָם מֵהַמַּעֲרֶכֶת הַקּוֹדֶמֶת.

מִן הַצַּד הַשָּׁנִי יֶשְׁנוֹ הַפוֹרְמָלִיזְם, שֶׁעַל פִּיו לְאַף אֶחָד מֵהַמִּסְפָּרִים אֵין קִיּוּם מִשֶּׁל עַצְמוֹ אֶלָּא רַק בְּהַתְאָמָה לָאַקְסְיוֹמוֹת, וְלָכֵן בְּמַעֲרֶכֶת הַמּוּגְדֶּרֶת כִּמְכִילָה אֶת הַמְּרוּכָּבִים, וְאַף מַעֲרֶכֶת מוּרְכֶּבֶת יוֹתֵר, מַמָּשׁוּתָם שֶׁל כָּל הַמִּסְפָּרִים בְּמַעֲרֶכֶת זֵהָה.
אִם בְּ"מִשְׂחָק" הַמָּתֵמָטִי מְנִיחִים אֶת קִיּוּמָם שֶׁל מִסְפָּרִים, וְהַדָּבָר לֹא מוֹבִיל לִסְתִירוֹת, הֵן קַיָּימִים בְּמִסְגַּרְתּוֹ (וּבְשׁוּם פָּנִים וָאוֹפֶן לֹא מֵעֵבֶר לְכָךְ).