Efficiency and Fairness in Matching Problems. (Efficacité et équité dans les problèmes d'appariement)

Rémi Castera

Abstract: en fr We study matching models, i.e., models based on a bipartite graph where the objective is to find a set of edges in the graph (called a matching) that satisfies or maximizes some objective. In the basic setup, the objective is to find the largest possible set of edges. When the vertices of the graph are agents with preferences over the possible partners, we look for matchings that are deemed stable, while trying to maximize the satisfaction of the agents. We assume that vertices on one side of the graph are divided into groups, those groups could represent different demographics, that we would like to be treated fairly when choosing a matching. In this thesis, we look into various definitions of fairness towards those groups (a concept called group fairness), and which parameters of each studied model play a role in the existence or the optimality of a fair matching. In particular, we study the trade-off between fairness and efficiency, defined as the size of the matching when there are no preferences, or the satisfaction of agents when there are preferences. In the setting with no preferences, we propose an original geometric representation of the problem that allows us to give conditions for the existence of a matching that is maximal and fair, and when it does not exist we provide tight bounds on the ratio between the size of the largest matching and the size of the largest fair matching (we call this ratio the Price of Fairness). In the setting with preferences, that we model as a college admission problem with students on one side an colleges on the other side, we study the role of the correlation between colleges' rankings of students. We show that correlation improves the efficiency of the stable matching. However when different groups have different levels of correlation, groups with higher correlation have higher rates of students remaining unassigned, even when each college's individual ranking is completely fair towards each group. We also show that when colleges' rankings are fair, there is no trade-off between efficiency and fairness. Nous étudions des modèles d’appariement, i.e., des modèles basés sur un graphe bipartite dans lequel l’objectif est de trouver un ensemble d’arêtes (appelé appariement) qui vérifie ou maximise un objectif donné. Dans le modèle de base, l’objectif est de trouver l’appariement le plus grand possible. Quand les sommets du graphe sont des agents avec des préférences sur les partenaires possibles, on cherchera des appariements jugés stables, tout en essayant de maximiser la satisfaction des agents. Nous supposons que d’un côté du graphe les sommets sont divisés en groupes, qui peuvent représenter différents groupes démographiques, que nous voudrions traiter équitablement au moment de choisir un appariement. Dans cette thèse, nous étudions différentes notions d’équité entre les groupes, et quels sont les paramètres de chaque modèle étudié qui influencent l’existence ou l’optimalité d’un appariement équitable. En particulier, nous nous intéressons au compromis entre équité et efficacité, définie comme la taille de l’appariement dans le cas sans préférences ou la satisfaction des agents dans le cas avec préférences. Dans le modèle sans préférences, nous proposons une représentation géométrique originale du problème qui permet de donner des conditions à l’existence d’un appariement qui soit à la fois de taille maximale et équitable, et quand ce n’est pas le cas nous donnons des bornes étroites sur le ratio entre la taille d’un appariement maximal et la taille du plus grand appariement équitable. Dans le cas avec préférences, que nous modélisons comme un problème d’admission à l’université où les agents d’un côté sont des étudiants et de l’autre des universités, nous étudions le rôle de la corrélation entre les classements que chaque université fait des étudiants. Nous montrons que la corrélation améliore l’efficacité de l’appariement stable. De plus, quand différents groupes ont des niveaux de corrélation différents dans leurs classements par les universités, ceux avec la corrélation plus élevée ont moins de chances d'être admis même quand le classement de chaque université pris individuellement est parfaitement équitable. Nous montrons également que quand les classements de chaque université sont équitables, il n’y a pas de compromis entre efficacité et équité.